15 Feb 2021 2480字 9分 次 数学
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CC BY-NC-SA 4.0 (除特别声明或转载文章外) 我们有单位根反演:
[k∣j]=k1d=0∑k−1ωkdj证明:
当 k∣j 时,ωkj=1,右式 =1。
当 k∤j 时,ωkj=1,右式 =ωkj−1ωkkj−ωk0j=0。
根据单位根反演:
=====i=0∑n(in)pi⌊ki⌋i=0∑n(in)pi(j=0∑i[k∣j]−1)i=0∑n(in)pij=0∑i[k∣j]−i=0∑n(in)pii=0∑n(in)pij=0∑ik1d=0∑k−1ωkdj−(p+1)nk1d=0∑k−1i=0∑n(in)pij=0∑iωkdj−(p+1)nk1i=0∑n(in)pi(i+1)+k1d=1∑k−1i=0∑n(in)pij=0∑iωkdj−(p+1)n先算左边的东西:
====i=0∑n(in)pi(i+1)i=0∑n(in)pii+i=0∑n(in)pii=0∑n(i−1n−1)pin+(p+1)nnpi=0∑n−1(in−1)pi+(p+1)nnp(p+1)n−1+(p+1)n然后是中间的东西:
====d=1∑k−1i=0∑n(in)pij=0∑iωkdjd=1∑k−1i=0∑n(in)piωkd−1ωkd(i+1)−1d=1∑k−1ωkd−1i=0∑n(in)piωkd(i+1)−i=0∑n(in)pid=1∑k−1ωkd−1ωkdi=0∑n(in)(pωkd)i−(p+1)nd=1∑k−1ωkd−1ωkd(pωkd+1)n−(p+1)n所以原式等于:
k1(np(p+1)n−1+(p+1)n+d=1∑k−1ωkd−1ωkd(pωkd+1)n−(p+1)n)−(p+1)n时间复杂度 O(klogn),复杂度瓶颈是快速幂。